Géométrie

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Par Chadrack Besongo

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N'hésitez surtout pas d'explorer les autres notes de Kiara pour les saphirs. Les notes pour les saphirs sont les réadaptations des notes de cours des élèves de septième.

Si une notion vous semble difficile à appréhender, sentez-vous libre de poser des questions au bas de la page. Notre communauté des bénévoles sera toujours heureuse de vous répondre.

Chapitre 40: Différentes équations d’une droite


Equation vectorielle

Soit la droite \(d\) dans le plan rapporté au répère \((O,\vec{\imath},\vec{\jmath})\), \(A\) et \(B\) deux de ses points. Soit \(P\) un point quelconque de la droite \(d\).

On a: \(\overrightarrow{AP} = k\overrightarrow{AB}\), \(k \in \mathbb{R}\).

La droite \(AB\) est l’ensemble de points du plan tel que \(\overrightarrow{AP} = k\overrightarrow{AB}\).

\(AB = \{P \in \pi \mid \overrightarrow{AP} = k\overrightarrow{AB},\,k \in \mathbb{R}\}\)

Donc, \(\overrightarrow{AP} = k\overrightarrow{AB}\) est l’équation vectorielle de la droite \(d\).

Le vecteur \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\) est un vecteur directeur de la droite \(d\) et le réel \(k\) est l’abscisse du point \(P\) dans le répère \((A,\overrightarrow{AB})\).

Note: une droite admet une infinité des vecteurs directeurs.

Equations paramétriques

On donne \(A(x_0,y_0)\) un point fixe, \(P(x,y)\) un point quelconque de la droite \(d\) et \(\vec{u}(\alpha,\beta)\) un vecteur directeur de la droite \(d\) qui est égal à \(AP\) de répère \((O,\vec{\imath},\vec{\jmath})\).

On a:

$$ \begin{array}{rcl} (\overrightarrow{AP} = k\overrightarrow{u}) &\Leftrightarrow& (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = k\vec{u})\\ &\Leftrightarrow& (\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + k\vec{u})\\ &\Leftrightarrow& [x\vec{\imath} + y\vec{\jmath} = x_0\vec{\imath} + y_0\vec{\jmath} + k(\alpha\vec{\imath} + \beta\vec{\jmath})]\\ &\Leftrightarrow& (x\vec{\imath} + y\vec{\jmath} = x_0\vec{\imath} + y_0\vec{\jmath} + \alpha k\vec{\imath} + \beta k\vec{\jmath})\\ &\Leftrightarrow& [x\vec{\imath} + y\vec{\jmath} = (x_0+\alpha k)\vec{\imath} + (y_0+\beta k)\vec{\jmath}]\\ \\ &\Leftrightarrow& % \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + \alpha k\\ y = y_0 + \beta k \end{array} \right.\qquad\text{ avec $k$ le param\`etre} \end{array} $$

Donc, les équations paramétriques de la droite \(d\) sont:

$$ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + \alpha k\\ y = y_0 + \beta k \end{array} \right. $$

Equation cartésienne

Soit le système

$$ \begin{array}{l} x = x_0 + \alpha k \qquad(eq3)\\ y = y_0 + \beta k \qquad(eq4) \end{array} $$

On a: \(k = \frac{x-x_0}{\alpha} (eq5)\) et \(k = \frac{y-y_0}{\beta} (eq6)\)

$$ \begin{array}{rcl} [(eq5) = (eq6)] &\Leftrightarrow& \left( \frac{x-x_0}{\alpha} = \frac{y-y_0}{\beta} \right)\\ &\Leftrightarrow& [\alpha(y-y_0) = \beta(x-x_0)]\\ \end{array} $$

Donc, \(\alpha(y-y_0) = \beta(x-x_0)\) est l’équation cartésienne de la droite \(d\).