Géométrie

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Par Chadrack Besongo

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N'hésitez surtout pas d'explorer les autres notes de Kiara pour les saphirs. Les notes pour les saphirs sont les réadaptations des notes de cours des élèves de septième.

Si une notion vous semble difficile à appréhender, sentez-vous libre de poser des questions au bas de la page. Notre communauté des bénévoles sera toujours heureuse de vous répondre.

Chapitre 31: Droite vectorielle


Définition

On appelle droite vectorielle, l’ensemble de tous les vecteurs ayant une même direction. On note: \(\mathcal{D}\).

Conséquences

  1. Le vecteur nul appartient à toute droite vectorielle: \(\vec{0} \in \mathcal{D}\)

  2. Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont deux vecteurs d’une même droite vectorielle alors \(\vec{u} = \alpha\vec{v}\) ou \(\vec{v} = \beta\vec{u}\) avec \(\alpha,\beta \in \mathcal{R}\)

  3. Si \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}_1\) sont deux droites vectorielles de directions différentes alors \(\mathcal{D} \cap \mathcal{D}_1 = \vec{0}\)

Base d’une droite vectorielle

On appelle base d’une droite vectorielle, tous vecteurs non nuls de cette droite. En générale, on désigne une base d’une droite vectorielle par: \(\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k},\vec{\ell},\vec{m},\ldots\)

Soit \(\vec{\imath}\) une base de la droite vectorielle \(\mathcal{D}\).

On a: \(\forall \vec{u} \in \mathcal{D},\,\vec{u} = \alpha\vec{\imath}\qquad\alpha \in \mathcal{R}\)

\(\alpha\) est appélé composante de \(\vec{u}\) dans la base \(\vec{\imath}\)
\(\alpha\vec{\imath}\) est l’écriture de \(\vec{u}\) dans la base \(\vec{\imath}\)

Note: l’écriture d’un vecteur dans une base est unique.

Changement de base

On donne \(\vec{\imath}\) et \(\vec{\jmath}\) deux bases de \(\mathcal{D}\), \(a\) la composante de \(\vec{\jmath}\) dans \(\vec{\imath}\).

On a: \(\vec{\jmath} = a\vec{\imath}\) avec \(\vec{\imath} \ne 0\) et \(a\ne0\)

Soit \(\vec{u}\) un vecteur de \(\mathcal{D}\) et de composante \(x\) dans la base \(\vec{\imath}\) et \(x'\) dans la base \(\vec{\jmath}\).

on a:

$$ \begin{array}{rl} \vec{u} &=& x\vec{\imath} \qquad (eq1)\\ \vec{u} &=& x'\vec{\imath} \qquad (eq2) \end{array} $$ $$ \begin{array}{rcl} eq1 = eq2 &\Leftrightarrow& (x'\vec{\jmath} = x\vec{\imath})\\ &\Leftrightarrow& (ax'\vec{\imath} = x\vec{\imath})\\ &\Leftrightarrow& (ax' = x)\\ &\Leftrightarrow& \left(x' = \frac{x}{a}\right)\\ &\Leftrightarrow& \left(x' = \frac{1}{a}x\right) \end{array} $$

Donc, \(x' = \frac{1}{a}x\) et \(\vec{u} = \frac{1}{a}x\vec{\jmath}\)

Répère d’une droite, graduation

On donne une droite \(d\) de direction \(\Delta\) et un point \(O\) de la droite \(d\). Soit un vecteur non nul \(\vec{\imath}\) de la droite \(d\), de direction \(\Delta\) et d’origine \(O\).

  1. Un répère de la droite \(d\) est le couple \((O,\vec{\imath})\) formé par le point \(O\) et le vecteur \(\vec{\imath}\) appélés respectivement origine et base du répère

  2. La droite \(d\) étant munie d’un répère \((O,\vec{\imath})\), on peut associer à tout point \(P\) de la droite \(d\) un réel \(\alpha\) tel que \(\overrightarrow{OP} = \alpha\vec{\imath}\) appélé abscisse de \(P\).

    Donc, il existe une bijection \(g\) de \(d\) dans \(\mathcal{R}\) qu’on appelle graduation de l’associé au répère \((O,\vec{\imath})\).

    $$ \begin{array}{rcl} g &\colon& d\longrightarrow \mathcal{R}\\ && P\longrightarrow g(P) = \alpha \end{array} $$

    Donc, \(g(P) = \alpha\)

    La droite \(d\) munie d’une graduation est appélée droite graduée.

  3. Cette droite \(d\) munie d’un répère \((O,\vec{\imath})\) est appélé axe.

  4. L’abscisse d’un point \(P\) de la droite \(d\) de répère \((O,\vec{\imath})\) est la composante du vecteur \(\overrightarrow{OP}\) dans la base \(\vec{\imath}\) et se note: \(x_P\).

    On écrit: \(\overrightarrow{OP} = x_P\vec{\imath}\)