Géométrie

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Par Chadrack Besongo

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N'hésitez surtout pas d'explorer les autres notes de Kiara pour les saphirs. Les notes pour les saphirs sont les réadaptations des notes de cours des élèves de septième.

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Chapitre 29: Produit d’un vecteur par un réel


Soit \(\vec{u}\) un vecteur nul et \(\alpha\) un réel, \((A,B)\) un représentant du vecteur \(\vec{u}\) et \(P\) un point de la droite \(AB\) tel que \(\overline{AP} = \alpha\cdot\overline{AB}\)

Le vecteur \(\overrightarrow{AP} = \alpha\cdot\overrightarrow{AB}\) ou \(\overrightarrow{AP} = \alpha\cdot\vec{u}\) et le produit du vecteur \(\vec{u}\) par le réel \(\alpha\).

Donc,

$$ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{AP} &=& \alpha\cdot\overrightarrow{AB}\\ &=& \alpha\cdot\overrightarrow{u}\\ \end{array} $$

Notes

  1. \(\overline{AP}\) est la mesure algébrique de \(\overrightarrow{AP}\).

  2. Si \(\alpha\) est positif alors \(\vec{u}\) et \(\alpha\cdot\vec{u}\) ont même sens.

  3. Si \(\alpha\) est négatif alors \(\vec{u}\) et \(\alpha\cdot\vec{u}\) de sens contraire.

Conséquences

  1. \(\forall \alpha \in \mathbb{R} \text{ et } \forall \vec{u} \in \mathcal{V},\,(-\alpha\vec{u}) = -(\alpha\vec{u}) = \alpha\cdot(-\vec{u})\)

  2. \(\forall \alpha,\beta \in \mathbb{R} \text{ et } \forall \vec{u}\in \mathcal{V},\,\alpha\cdot\vec{u} - \beta\vec{u} = (\alpha - \beta)\vec{u}\)

Propriétés

  1. $$ \begin{array}{rcl} \forall \vec{u} \in \mathcal{V},\,1\cdot\vec{u} &=& \vec{u}\\ -1\cdot\vec{u} &=& -\vec{u}\\ 0\cdot\vec{u} &=& \vec{0} \end{array} $$
  2. \(\forall \alpha \in \mathbb{R},\,\alpha\cdot\vec{0} = \vec{0}\)

    Donc, si \(\alpha\cdot\vec{u} = \vec{0} \Leftrightarrow \alpha = 0\) ou \(\vec{u} = \vec{0}\)

  3. \(\forall \alpha,\beta \in \mathbb{R}\) et \(\forall \vec{u} \in \mathcal{V}, \begin{array}{rcl} (\alpha + \beta) &=& \alpha\vec{u} - \beta\vec{u}\\ (\alpha\cdot\beta)\vec{u} &=& \alpha(\beta\cdot\vec{u}) \end{array}\)

  4. \(\forall \alpha \in \mathcal{R}\) et \(\forall \vec{u},\vec{v} \in \mathcal{V},\,\alpha(\vec{u} + \vec{v}) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v}\)